Fermaning kichik teoremasi

Ushbu nashrda biz butun sonlar nazariyasidagi asosiy teoremalardan birini ko'rib chiqamiz -  Fermaning kichik teoremasifrantsuz matematigi Per de Ferma nomi bilan atalgan. Shuningdek, biz taqdim etilgan materialni birlashtirish uchun muammoni hal qilish misolini tahlil qilamiz.

Teoremaning bayoni

1. Boshlang‘ich

If p tub sondir a ga boʻlinmaydigan butun sondir pso'ng a^p-1 - 1 tomonidan bo'lingan p.

Rasmiy ravishda shunday yozilgan: a^p-1 ≡ 1 (qarshi p).

Eslatma: Tub son - bu faqat XNUMX ga va o'ziga qoldiqsiz bo'linadigan natural son.

Masalan:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• soni 15 tomonidan bo'lingan 5 qoldiqsiz.

2. Alternativ

If p tub son, a har qanday butun son a^p bilan solishtirish mumkin a modulo p.

a^p ≡ a (qarshi p)

Dalillarni topish tarixi

Per de Ferma teoremani 1640 yilda shakllantirgan, lekin o'zi buni isbotlamagan. Keyinchalik buni nemis faylasufi, mantiqi, matematiki va boshqalar Gotfrid Vilgelm Leybnits amalga oshirdi. U hech qachon nashr etilmagan bo'lsa-da, 1683 yilga kelib isbotga ega bo'lgan deb ishoniladi. Shunisi e'tiborga loyiqki, Leybnits teoremani o'zi kashf etgan, chunki u ilgari shakllantirilganligini bilmaydi.

Teoremaning birinchi isboti 1736 yilda nashr etilgan va u shveytsariyalik, nemis va matematik va mexanik Leonhard Eylerga tegishli. Fermaning kichik teoremasi Eyler teoremasining alohida holidir.

Muammoga misol

Raqamning qolgan qismini toping 2¹² on 12.

qaror

Keling, bir raqamni tasavvur qilaylik 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 - bu tub son, shuning uchun Fermaning kichik teoremasi bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

2¹¹ ≡ 2 (qarshi 11).

Shunday qilib, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (qarshi 11).

Shunday qilib, raqam 2¹² tomonidan bo'lingan 12 ga teng qoldiq bilan 4.