Funktsiyaning chegarasi nima

Ushbu nashrda biz matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biri - funktsiya chegarasi: uning ta'rifi, shuningdek amaliy misollar bilan turli xil echimlarni ko'rib chiqamiz.

Funksiya chegarasini aniqlash

Funktsiya chegarasi – argumenti cheklovchi nuqtaga moyil bo‘lganda, bu funksiya qiymati moyil bo‘lgan qiymat.

Limit rekordi:

• chegara belgisi bilan ko'rsatilgan Laym;
• uning ostiga funksiya argumenti (o‘zgaruvchisi) qaysi qiymatga intilishi qo‘shiladi. Odatda bu x, lekin shart emas, masalan:x→1″;
• keyin funksiyaning o'zi o'ng tomonga qo'shiladi, masalan:

  

Shunday qilib, chegaraning yakuniy yozuvi quyidagicha ko'rinadi (bizning holatlarimizda):

kabi o'qiydi "funktsiyaning chegarasi, chunki x birlikka intiladi".

x→ 1 - bu shuni anglatadiki, "x" doimiy ravishda birlikka cheksiz yaqinlashadigan qiymatlarni oladi, lekin hech qachon u bilan mos kelmaydi (uga erishilmaydi).

Qaror chegaralari

Berilgan raqam bilan

Keling, yuqoridagi chegarani hal qilaylik. Buning uchun funktsiyadagi birlikni almashtiring (chunki x→1):

Shunday qilib, chegarani yechish uchun biz avval berilgan raqamni uning ostidagi funktsiyaga oddiygina almashtirishga harakat qilamiz (agar x ma'lum bir raqamga moyil bo'lsa).

Cheksizlik bilan

Bunda funksiya argumenti cheksiz ortadi, ya'ni, "X" cheksizlikka intiladi (∞). Masalan:

If x→∞, u holda berilgan funksiya minus cheksizlikka (-∞) intiladi, chunki:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 va boshqalar.

Yana bir murakkab misol

Ushbu chegarani hal qilish uchun, shuningdek, oddiygina qiymatlarni oshiring x va bu holatda funktsiyaning "xatti-harakati" ga qarang.

• RџSЂRyo x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRyo x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRyo x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Shunday qilib, uchun "X"cheksizlikka moyillik, funksiya x² + 3x - 6 cheksiz o'sadi.

Noaniqlik bilan (x cheksizlikka intiladi)

Bu holda, funksiya kasr bo'lsa, uning soni va maxraji ko'phadlar bo'lgan chegaralar haqida gapiramiz. Qayerda "X" cheksizlikka intiladi.

misol: quyida chegarani hisoblab chiqamiz.

qaror

Ayiruvchi va maxrajdagi ifodalar cheksizlikka intiladi. Bu holda yechim quyidagicha bo'ladi deb taxmin qilish mumkin:

Biroq, hammasi ham oddiy emas. Cheklovni hal qilish uchun biz quyidagilarni bajarishimiz kerak:

1. Toping x numerator uchun eng yuqori quvvatga (bizning holatda, bu ikkita).

2. Xuddi shunday, biz ham aniqlaymiz x maxraj uchun eng yuqori quvvatga (shuningdek, ikkitaga teng).

3. Endi sonni ham, maxrajni ham ga ajratamiz x oliy darajadagi. Bizning holatda, ikkala holatda ham - ikkinchisida, lekin agar ular boshqacha bo'lsa, biz eng yuqori darajani olishimiz kerak.

4. Olingan natijada barcha kasrlar nolga intiladi, shuning uchun javob 1/2 ga teng.

Noaniqlik bilan (x ma'lum bir raqamga intiladi)

Numerator ham, maxraj ham polinomdir, ammo "X" cheksizlikka emas, muayyan songa intiladi.

Bunda biz shartli ravishda maxraj nolga teng ekanligiga ko'zimizni yumamiz.

misol: Quyidagi funksiya chegarasini topamiz.

qaror

1. Birinchidan, 1 raqamini funktsiyaga almashtiramiz "X". Biz ko'rib chiqayotgan shaklning noaniqligini olamiz.

2. So'ngra, pay va maxrajni ko'paytmalarga ajratamiz. Buning uchun siz qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishingiz mumkin, agar ular mos bo'lsa yoki.

Bizning holimizda, hisoblagichdagi ifodaning ildizlari (2x² – 5x + 3 = 0) 1 va 1,5 raqamlari. Shuning uchun uni quyidagicha ifodalash mumkin: 2(x-1)(x-1,5).

maxraj (x–1) dastlab oddiy.

3. Biz shunday o'zgartirilgan chegarani olamiz:

4. Kasrni ( ga qisqartirish mumkin)x–1):

5. Limit ostida olingan ifodada faqat 1 raqamini almashtirish qoladi: