Ushbu nashrda biz Gauss usuli nima ekanligini, nima uchun kerakligini va uning printsipi nima ekanligini ko'rib chiqamiz. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda bu usul qanday qo‘llanilishini amaliy misol yordamida ham ko‘rsatamiz.
Gauss usulining tavsifi
Gauss usuli hal qilish uchun foydalaniladigan o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilishning klassik usuli hisoblanadi. U nemis matematigi Karl Fridrix Gauss (1777-1885) sharafiga nomlangan.
Ammo birinchi navbatda, SLAU quyidagilarni amalga oshirishi mumkinligini eslaylik:
- bitta yechimga ega bo'lish;
- cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lish;
- mos kelmaydigan, ya'ni yechimlari yo'q.
Amaliy foyda
Gauss usuli uchtadan ortiq chiziqli tenglamalarni, shuningdek kvadrat bo'lmagan tizimlarni o'z ichiga olgan SLAE ni hal qilishning ajoyib usuli hisoblanadi.
Gauss usulining printsipi
Usul quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:
- To'g'riga – tenglamalar tizimiga mos keladigan kengaytirilgan matritsa qatorlar ustidagi yo‘l bilan yuqori uchburchak (pog‘onali) shaklga qisqartiriladi, ya’ni asosiy diagonal ostida faqat nolga teng elementlar bo‘lishi kerak.
- orqaga – olingan matritsada asosiy diagonal ustidagi elementlar ham nolga o‘rnatiladi (pastki uchburchak ko‘rinish).
SLAE yechimiga misol
Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli yordamida yechamiz.
qaror
1. Boshlash uchun biz SLAE ni kengaytirilgan matritsa shaklida taqdim etamiz.
2. Endi bizning vazifamiz asosiy diagonal ostidagi barcha elementlarni tiklashdir. Keyingi harakatlar aniq matritsaga bog'liq, quyida biz o'zimizga tegishli bo'lganlarni tasvirlaymiz. Birinchidan, biz satrlarni almashtiramiz, shuning uchun ularning birinchi elementlarini o'sish tartibida joylashtiramiz.
3. Ikkinchi qatordan birinchi marta ikki marta, uchinchidan esa - birinchidan uch marta olib tashlang.
4. Ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shing.
5. Birinchi qatordan ikkinchi qatorni ayirish va shu bilan birga uchinchi qatorni -10 ga bo'lish.
6. Birinchi bosqich tugallandi. Endi biz asosiy diagonal ustidagi null elementlarni olishimiz kerak. Buni amalga oshirish uchun birinchi qatordan 7 ga ko'paytiriladigan uchinchini ayirib, ikkinchisiga 5 ga ko'paytirilgan uchinchisini qo'shing.
7. Yakuniy kengaytirilgan matritsa quyidagicha ko'rinadi:
8. U tenglamalar sistemasiga mos keladi:
javob: ildiz SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.