Kompleks sonni tabiiy darajaga ko'tarish

Ushbu nashrda biz murakkab sonni qanday qilib bir darajaga ko'tarish mumkinligini ko'rib chiqamiz (shu jumladan De Moivre formulasi yordamida). Nazariy material yaxshiroq tushunish uchun misollar bilan birga keladi.

Kompleks sonni darajaga ko'tarish

Birinchidan, murakkab son umumiy shaklga ega ekanligini unutmang: z = a + bi (algebraik shakl).

Endi biz to'g'ridan-to'g'ri muammoni hal qilishga o'tishimiz mumkin.

Kvadrat raqam

Biz darajani bir xil omillarning mahsuloti sifatida ifodalashimiz va keyin ularning mahsulotini topishimiz mumkin (buni eslagan holda i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Misol 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Bundan tashqari, yig'indining kvadratidan foydalanishingiz mumkin:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Eslatma: Xuddi shu tarzda, agar kerak bo'lsa, farqning kvadrati, yig'indining kubi / farqi va boshqalar uchun formulalar olinishi mumkin.

N-daraja

Kompleks sonni ko'taring z shaklda n trigonometrik shaklda ifodalansa, ancha oson.

Eslatib o'tamiz, umuman olganda, raqamning yozuvi quyidagicha ko'rinadi: z = |z| ⋅ (cos ph + i ⋅ sin ph).

Eksponentatsiya uchun siz foydalanishingiz mumkin De Moivre formulasi (ingliz matematigi Avraam de Moivr sharafiga shunday nomlangan):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nph) + i ⋅ sin(nph))

Formula trigonometrik shaklda yozish orqali olinadi (modullar ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi).

misol 2

Kompleks sonni ko'taring z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) sakkizinchi darajagacha.

qaror

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).